积极反思，“积”也有大文章

——以系列研究为例浅谈疫情之下预习后续跟进

常州市红梅实验小学 何小玲

摘要   本文从学生看似理所当然的现象开始，首先启发学生科学合理反思，接着主要从两个乘数同步变化，一个乘数变化，两个乘数“反调变化”三个方面进行积的变与不变系列化研究，接下来小议积极反思的延展，例谈疫情之下四年级学生数学预习后续跟进反思学习。

关键词   反思     积的变与不变    系列化研究

因为突如其来的新冠病毒，学生经历一个漫长的假期。假期中，很多孩子在家预习。不同学生预习的方式不同，有的借助外界力量，根据现有视频学习，有的立足文本，参照课本预习。然而，缺乏课堂面对面的师生即时互动、沟通交流，四年级孩子预习效果怎么样呢？

通过班级集体交流以及个别学生访谈，情况如下：

部分学生觉得“学过了”，自信满满。已经看过视频了或者已经看过课本了，已经学过了，有的基本完成整本书的学习，少一点的学生也已经学习前三个单元。带着“已经学过”，走进课堂，学生自信满满。四年级的孩子，才四岁多，能自己学习是多么可贵的事情，感觉自信也能够理解。

部分学生觉得预习就是做题，题做了就学好了。不仅学过，还完成一套配套练习，题目基本会做，相当充实，甚至觉得课堂学习已经没有那么重要。10多岁的孩子不仅能预习，而且紧跟练习，已经非常自律，相当值得欣赏。

然而，除了基本知识和基本技能，孩子的数学思维能力如何落实呢？作为数学老师，带着口罩走上讲台，不仅自己教学环境不同，面对的学生也产生很大变化。如果一味重复孩子们已经会的基本知识，只能让学习变成“今天的你我重复昨天的故事”，谈何跟进学生预习，与学生预习科学无缝对接，从而有效培养学生的数学思维能力呢?

关注看似普通的现象，进而透过现象看本质，并且引导孩子不断反思，一组关于积的变与不变系列化研究就此产生——原来积极反思，“积”也可以有大文章 。

一、  现象背后不是理所当然的接受——积极反思，透过现象接近本质

内容分析：苏教版小学数学四年级上册第三单元《三位数乘两位数》，方法与两位数乘两位数类似，正向迁移作用大，因而对学生来说，难度不大。其中两个乘数末尾都有0的情况 ，需要科学处理0的问题。因为和之前末尾有0有类似之处，难度也变弱。

学情分析：学生学过两位数乘两位数，并且处理过一个乘数末尾有0的乘法，遇到三位数乘两位数，即使两个乘数末尾有0，也能在迁移作用下基本完成。

课堂前测结果：班级44个同学全部参与前测，两个同学只加一个0，其余42 位同学全部正确，正确的同学觉得计算时没有考虑两个0，最后添上比较公平。

前测结果分析：

大部分同学基础知识扎实，迁移效果良好，预习效果也足实有效。然而，从少部分学生的结果看来，除了0的个数出现模糊。面对两个乘数末尾都有0的情况，部分学生无所适从，提醒老师：这两个0不简单，值得细思回魔。

    师生互动1：为什么必须加上两个“0”呢？

师：关于乘数末尾有0的乘法，同学们这样想。咱么进一步讨论一下。

集中出示：

独立思考，小组讨论 。

生1：以前计算80×50时，就是先算 8×5=40，再添两个0，得4000，现在也要添上两个0.

生2：我有疑问。开始计算去掉0，最后一定要加上 吗？比如540÷60=9，根据商不变规律，被除数和除数都缩小10倍，商不变，可以直接用54÷6=9,540÷60也是9，不需要加0。

教室顿时一片掌声。

师：有理有据 ，敢于提出自己 不同的想法，会思考。

追问：乘法算式中，末尾的0去掉，到底行不行呢？为什么？

生：当然不可以。去掉就变小了。

师：看来要想保持相等，必须要添上0。必须背后有什么道理呢？咱们进一步研究 。

跟进分析：

（一）  教师反思现象背后的门道

关于三位数乘两位（两个乘数末尾都有0），内容顺向迁移，难度不大。课堂前测下来，大部分学生掌握得不错。然而，少部分学生出现不确定0的个数或者两个0的位置，是孩子能力不够吗？其实这种现象是正常的。只是在预习过程中，该部分孩子缺乏外界有效的支撑，展现出来的是原生态状态。做对的大部分孩子真的明白吗？通过课堂交流，机械迁移偏重，缺乏本质理解，缺乏该有的思维能力提升。教师有效反思内容特点以及学生状态 ，为开启一场数学思维盛宴做准备。

（二）  学生反思现象背后的门道

做对的孩子机械认为就这么做，已经“理所当然”接受了，然而，说不清楚其中的道理。不能做对的孩子处在模糊阶段，迫切需要外界有效帮助。教师促进学生结合不同答案进行反思，学生从结果不难判断必要要加两个 0，但“一时且放 ”的0必须要加上吗？比如除法中商不变规律中0处理则截然不同，自然引起学生思维碰撞，进一步反思“为什么要加两个0呢”，为下面的一系列探究做好“思维场地”准备。 

二、  数学反思带来大脑风暴——积极反思，系列化研究

(一)  两个乘数同步变化

探究1：

师生互动2：

师：像这样首先猜想，进而举例验证，最后得出结论的过程在数学上叫做不完全归纳法 。怎么就是“不完全归纳法”呢？

生1：我有疑问，这么多例子的确都对，但我担心是不是所有例子都是这样 呢？

师：你反思得很有道理。例子永远也举不完，有没有其它办法说服我们呢？

独立思考，同桌讨论。

生2：一个乘数扩大10倍，就是10个原来的积，就是原来积的10倍，另一个乘数也扩大10倍，就是原来积的10倍又扩大10倍，就是原来积的100倍。其它例子也可以这么理解。

师：利用倍数关系，像这样说理也可以解决。

生3：现在我明白为什么 要加两个0了，原来是积的变化规律。

生4：这里两个乘数都变化，如果一个乘数变化呢:比如一个乘数不变，另一个乘数扩大或缩小几倍，积怎么变化？

师：你从两个乘数变化反思到一个乘数变化情况，的确存在，很有创新意识 ，值得研究。

生5：你们说的，无论两个乘数变化，还是一个乘数变化，积都是变化的。那么在乘法算式中，会不会和商不变规律相似，有积不变规律呢？

师：他更是从商不变规律反思到，乘法会不会积也不变，大家觉得有没有研究价值？

生6：有。

跟进分析：

1.应景研究不套路

关于三位数乘两位数（两个乘数末尾都有0），教师精心备课，安排探究1。在教师设定好的框架中，学生探究 ，看似一切顺利，其实处于被动探究，缺乏主动必要的反思，缺乏有效的深入理解，赋予表层，只是铺了一段形式主义的道路。

因此，在一切顺利探究结束时，教师交代“不完全归纳法”，直接启发思考“怎么就是“不完全归纳法”呢？”学生知道举例子，但第一次听说“不完全归纳法”，对名称存在好奇甚至疑问。在教师的启发下，学生自然反思，这种方法为什么不完全呢？通过进一步反思，不难知道，学过的数已经有很多，例子没有用完，怎么就能说明所有情况都是这样呢？不断反思，引发学生思维矛盾，催生根据倍数关系推理。

2.大脑风暴不拒绝

在乘法算式中，积的变化本来就不唯一，甚至也有不变规律。如果一味教师提出，学生难免感觉心累。学生思维一旦被打开，从不同角度反思，自然会想到一个乘数变化以及积不变情况。

学生思维发散引起的大脑风暴超出课本范围，但没有超出思维范围，在学生的最近发展区内。不妨放手让学生进一步自主探究。学生理解乘法算式中变与不变的规律，才能真正打通关于乘法算式中积的知识脉络，才有可能灵活运用，真正做好举一反三，而不是习惯性接受有限的直接给予，有助于培养学生自主探索能力，提升学生数学学习信心。

（二）一个乘数变化

探究2

师生互动3：

生1：一个乘数扩大几倍，积就扩大几倍，难怪我们以前一个乘数末尾有0，先搁置一边，再添上一个0。

师：反思一下，不难发现数学的每一种方法都是讲道理的。

生2：老师，我感觉这个规律，只有一个乘数变化，积就变化 ，比探究1简单。其实我们应该先研究这个，从简单开始。

师：的确是这样。我为了讲三位数乘两位数（两个乘数末尾有0）安排的探究1，原来老师功利了一些。

跟进分析：

1.及时反思，沟通前后联系

探究2结束，有了三位数乘两位数（两个乘数末尾都有0）的铺垫，学生豁然开朗，自然反思到一个乘数末尾有0就是这么处理 的。经过这样反思，学生前后知识打通了。教师在评价中再次肯定“数学讲道理”，为促进学生不断反思埋下伏笔，启发学生做个爱思考的学习者，而不是机械生搬硬套的学习机器。

2.呵护反思，拓展数学思维场

学生能跳出知识范畴，关注怎么学，反思能力非常可观 。尽管和教师的安排不符，甚至挑战教师权威，但教师依然幽默接受学生的反思质疑，一方面保护学生的反思习惯，稳固学生自主数学学习能力，另一方面融洽师生关系，让班级思维场更加充满安全感。学生的思维活了，感觉安全了，更多的学生参与了，课堂才活了。一旦课堂有了生命，学习不再是一件压抑的事情，而是主动探索的过程。

（三）两个乘数“反调变化”

学生由前两个研究，通过反思，自觉联想到除法中的商不变规律，进而想到乘法算式中有没有类似的“积不变规律”，从而进行“两个乘数反调变化研究”。这是学生思维发散的产物，是进一步深度思考的结果。学生能想到这一步，多么难能可贵。不妨放手让学生进一步探究。

探究3：

师生互动4：

生1：通过研究 ，我知道积也要不变规律，不仅仅除法才有“商不变规律”，乘法算式中也有积不变规律。

师：反思研究，我们学习就像一个圆，学的越多，接触得越多。

追问：商有不变规律，积有不变规律，完全一样吗？

独立思考。小组讨论。

生：我感觉积的不变规律和商不变规律不同。再除法 算式中，被除数和除数同步变化，商就不变，好比发书，班级人数多 ，要发的书就多，一个小组的人数比班级人数少，要发的书就少，但每个人都是一本，没有变化，都是一样额。但是在乘法算式中，一个乘数变大，另一个乘数就要变小同样的倍数 ，好像同一个蛋糕 ，分得人多，每人分得就少，分得人少，每人分得就多，蛋糕 不变，就这么大，积就这么多 。

师：结合生活经验反思，特别会学习。

跟进分析：

1.用“放大镜”看学生反思

学生学习学到了兴奋点，思维越来越活越，沉静在不断探究，反思收获的喜悦中，教师及时给一个“放大镜”，再次充分放大反思学习的成就感，无痕渗透反思学习的必要，让学生不断体会反思学习的优越性，从而将反思学习行为内化为不知不觉的潜意识行为，提升数学反思能力 ，养成良好的数学学习习惯，提升主动学习数学的积极情感。

2.用“望远镜”看学生反思

无论乘法算式中的积不变规律，还是除法算式中的商不变规律 ，学生都已经研究出来了，看似圆满结束，但思维场继续。教师及时追问“商有不变规律，积有不变规律，完全一样吗？”，一下子让学生兴奋活跃的心冷静下来，回过头，深入进入进一步反思过程。

通过对比反思，学生不难发现积不变与商不变的不同，虽然知识达不到数学明确解释，但能根据生活经验，形象生动反思二者区别，已经初步有了正反比例感觉。教师不急于点破，而是肯定学生能结合生活经验反思。统整的建构主义理论认为，学生生活经验是学生知识结构的一部分，是学生进一步学习新知的基础。学生内化过程就是建立在原有的知识建构上。因此，结合生活经验反思，贴合学生学习思维路径。

三、  积极反思，“圆外的天空更辽阔”

师生互动5：

师：关于乘法算式中的积变与不变，书上只有一个表格，大家做了三个重要的研究，不仅研究出积的变化规律，还研究出积的不变规律，回过头想一想，我们是怎么做到的呢？

独立思考。同桌讨论。

生1：不满足于现象，刨根问底。

师：在学习上，“为什么”就是我们钻研的利器。

生2：通过一个规律，反思有没有类似规律？

师：反思可以帮我们找到新的研究点。

生：大家再想一下，在乘法算式中，我们研究出这么多有价值的规律 ，那么加法，减法呢？还有除法算式中，有没有商的变化规律呢？

师：不断反思，学无止境，学得越多，知道得越多 ，不知道得也越多，等待我们探索的领域也越来越广泛。

跟进分析：

1.反思学习不局限与知识本身

乘法算式中，积的变化规律以及积的不变规律已经探究完成。然而，探究的目的不是知识本身。知识的海洋浩瀚无边，永远也学不完。探究学习本身的目的在于探究过程。通过探究过程，培养学生自主反思学习数学习惯，提升学生数学反思学习能力。“授之以鱼不如授之以渔”，学生获得反思学习的潜意识和能力才是关键。因此，教师不局限知识，进一步启发学生回顾思考，如何获得如此丰富探究，引发学生透过看似理所当然的现象睿智地窥看数学本质，提升数学反思能力。

2.反思学习不局限于课本限制

三位数乘两位数（两个乘数末尾都有0） 来之于课本，探究也来之于课本 ，然而，师生实际教与学过程中，且行且思学，进行一系列有价值探究，超越了课本，却活跃了学生数学课堂学习的思维场 。教师启发学生打开思维筋骨，大胆科学合理反思，学生进而创造性反思到加法，减法中，由此加减乘除的结果变与不变动起来，立体化。

小结

    如果没有对“两个0”的反思，大部分学生继续理所当然地“对”下去，个别学生继续模糊下去，就没有关于积的变化探究1；如果仅仅满足弄清楚“两个0”的关系，没有足够的联系起来反思，就没有一个乘数变化的探究2，就不会和曾经的一个乘数末尾有0前后知识有机统一勾连，更不会有“唱反调”的“谁说只要商不变规律”；如果仅仅满足于已经探究到的积的变与不变规律，没有进一步跳出课本反思，调出知识本身反思，就不会有加减乘除结果变与不变的立体化整体探究……

学生不是火箭，一飞冲天，而是“前有狼后有虎”，且行且思且学，在不断反思中，渐学渐长。想的再多一点，想得再深一点，数学反思学习能力就潜移默化落实到数学学习实践活动中 。数学学习不再是枯燥的机械生搬硬套，而是有活力的生命探究之旅。